Hilberts unendliches Hotel-Paradoxon

Quelle: philoclopedia.de

Abzählbare Unendlichkeiten und seltsame Ergebnisse

Teil 1: Kein Zimmer frei im Grand Hotel

Stellen Sie sich ein Grand Hotel mit einer (abzählbar) unendlichen Anzahl von Etagen und Zimmern vor. In dieser bestimmten Nacht ist das Hotel komplett voll.

Spät am Abend kommen Sie im Hotel an und fragen nach einem Zimmer. Obwohl kein Zimmer frei ist, sagt Ihnen die Hoteldirektorin, dass sie in diesem unendlichen Hotel problemlos ein Zimmer für Sie finden kann!

Sie sind erfreut, aber verwirrt. Wenn das unendliche Hotel mit einer unendlichen Anzahl von Gästen voll belegt ist, wie kann die Managerin dann ein Zimmer für Sie reservieren?

Was bedeutet abzählbar unendlich?

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn sie eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen hat.

Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn sie zur Menge N der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Alle anderen unendlichen Mengen sollen überabzählbar unendlich heißen. Die abzählbare Unendlichkeit einer Menge M bedeutet also nichts anderes, als dass M mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert werden kann, quasi abgezählt werden kann.

Quelle: https://mathepedia.de/Abzaehlbar_unendlich.html

Eine raffinierte Lösung

Das ist jetzt etwas verwirrend. Zuerst denken Sie vielleicht: "Nun, da es unendlich ist, können wir den neuen Gast nicht einfach im letzten Zimmer unterbringen?" Aber da es unendlich ist, gibt es kein letztes Zimmer und selbst wenn wir dieses Zimmer finden würden, ist es belegt.

Der Trick, um dieses Problem zu lösen, besteht darin, eine Abbildung von unserer abzählbar unendlichen Menge von Zimmern auf eine andere abzählbar unendliche Menge von Zimmern zu erstellen, die uns ein zusätzliches unbesetztes Zimmer übrig lässt.

Das klingt verwirrend, aber es ist ähnlich, wie wir bewiesen haben, dass die Menge aller geraden Zahlen gleich groß ist wie die Menge der natürlichen Zahlen.

Stellen wir uns die Räume als eine Menge vor, die von 1 bis zu einer unendlichen Zahl n reicht.

Es gibt keinen letzten Raum, aber es gibt immer einen nächsten Raum. Der Trick besteht also darin, jede Person gleichzeitig in den nächsten Raum zu bringen. Bewegen Sie zum Beispiel die Person in Raum 1 in Raum 2, Raum 2 → Raum 3, Raum 3 → Raum 4 und so weiter.

Ob du es glaubst oder nicht, das ist unsere Zuordnung: n → n + 1.

Nachdem wir alle Gäste verlegt haben, bleibt Raum 1 unbesetzt. Mit der gleichen Methode können wir jede endliche Anzahl von Räumen freigeben, die wir brauchen, egal ob es 1, 50 oder 5 Millionen sind. Ziemlich raffiniert, nicht wahr?

Teil 2: Ein unendlicher Bus kommt an

Eine weitere Nacht, ein weiteres unendlich volles Hotel, in dem nichts mehr frei ist.

Diesmal schaut der Manager aus dem Fenster und sieht einen unendlich langen Bus, gefüllt mit einer unendlichen Anzahl von Passagieren, die alle ein Zimmer suchen.

Unsere mathematisch versierte Managerin springt auf und beginnt, eine unendliche Anzahl von Zimmern für die unendliche Anzahl neuer Gäste vorzubereiten. Wie macht sie das?

Ich wette, Sie kennen die Antwort darauf.

Denken Sie darüber nach... Sie müssen jeden derzeitigen Gast in dem unendlichen Hotel in ein neues Zimmer umquartieren, damit es eine abzählbar unendliche Anzahl unbesetzter Zimmer für die neuen Gäste gibt...

Wenn wir also jeden aktuellen Gast in das Zweifache seiner aktuellen Zimmernummer verlegen, finden wir ein neues Zimmer für jeden der unendlich vielen aktuellen Gäste und können alle neuen Gäste in den unendlich vielen ungeraden Zimmern unterbringen, die noch übrig sind.

Denk mal kurz über diese verblüffende Tatsache nach...

Du hast gerade eine unendliche Menge genommen und sie in zwei gleichwertige unendliche Mengen aufgeteilt, die beide die gleiche Größe wie die ursprüngliche unendliche Menge haben, aber auch die gleiche Größe wie die ursprüngliche unendliche Menge selbst, wenn sie kombiniert werden.

Das ist vollkommen paradox!

Teil 3: Eine unendliche Anzahl von unendlichen Bussen kommt an
Wie man die aktuellen Gäste verschiebt

Für den Anfang verschieben wir die unendliche Menge der Gäste, die sich derzeit im Hotel befinden, von ihren aktuellen Zimmernummern (d.h. den natürlichen Zahlen) zu Potenzen der ersten Primzahl, 2.

Der Gast in Zimmer 1 geht also in Zimmer 2¹= 2, der Gast in Zimmer 2 geht in Zimmer 2² = 4, und so weiter.

Zuordnung für aktuelle Hotelgäste

Bus #1's Room Assignments

Dann nehmen wir die Gäste aus dem ersten Bus und ordnen sie Potenzen der nächsten Primzahl, also 3, zu, wobei wir ihre Sitzplatznummern als Potenzen verwenden.

In diesem ersten Bus setzen wir zum Beispiel den Gast von Platz 1 auf 3¹ = 3, den Gast von Platz 2 auf 3² = 9, und so weiter.

Zuordnung für Gäste in Bus 1

Bus #2's Room Assignments

Wir werden dieses Muster fortsetzen und die nächste Primzahl als Basis für den nächsten Bus verwenden.

Zuweisung für Gäste in Bus Nr. 2

Da wir eine unendliche Menge von Primzahlen haben, können wir theoretisch die nächste Primzahl als Basis für jeden der abzählbar unendlichen Busse verwenden. Und da die Erhöhung der Primzahl auf eine neue Potenz eine ganz neue Zimmernummer ergibt, können wir in jedem Bus Zimmer für die unendlich vielen Gäste unterbringen.


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